Sous-groupe et cardinal : énoncé (MPSI)

Propriété

Sous-groupe et cardinal

Démonstration : Sous-groupe et cardinal

Démonstration

Preuve

Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe.
Soit $t=(1\ 2)$ (possible car $n\geqslant2$). L'application $f:\sigma\mapsto t\sigma$ envoie $\mathfrak{A}_n$ dans $\mathfrak{S}_n\setminus\mathfrak{A}_n$ car $\varepsilon(t\sigma)=-\varepsilon(\sigma)$. Elle est bijective entre ces deux ensembles : l'application $\sigma\mapsto t\sigma$ de $\mathfrak{S}_n\setminus\mathfrak{A}_n$ dans $\mathfrak{A}_n$ est sa réciproque, puisque $t^2=\mathrm{id}$. Les deux ensembles ont donc le même cardinal ; ils partitionnent $\mathfrak{S}_n$, d'où $|\mathfrak{A}_n|=\dfrac{n!}{2}$.

Exemple

$\mathfrak{A}_3$ et $\mathfrak{A}_4$

$\mathfrak{A}_3=\{\mathrm{id},(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}$ : 3 éléments, les 3-cycles étant pairs et les trois transpositions impaires. Ce groupe est commutatif (il est engendré par $(1\ 2\ 3)$).
$\mathfrak{A}_4$ a 12 éléments : l'identité, les $\dfrac{4!}{3\cdot1!}=8$ cycles de longueur 3, et les 3 doubles transpositions $(1\ 2)(3\ 4)$, $(1\ 3)(2\ 4)$, $(1\ 4)(2\ 3)$. Les 4-cycles (6 éléments) et les transpositions (6 éléments) sont impairs : $12+6+6=24$.

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