Tester l'appartenance à $\mathfrak{A}_n$ : méthode (MPSI)
Tester l'appartenance à $\mathfrak{A}_n$
- Décomposer $\sigma$ en cycles disjoints.
- Compter les cycles de longueur paire : $\sigma\in\mathfrak{A}_n$ si et seulement si ce nombre est pair.
Exemple : $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6)\in\mathfrak{A}_6$ (deux cycles de longueur paire), alors que $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6\ 7)\notin\mathfrak{A}_7$.
Ce que $\mathfrak{A}_n$ ne contient pas
$\mathfrak{A}_n$ ne contient aucune transposition. Les transpositions ne peuvent donc pas servir de générateurs de $\mathfrak{A}_n$ ; un produit d'un nombre pair de transpositions est en revanche toujours dans $\mathfrak{A}_n$.
Générateurs de $\mathfrak{A}_n$ (hors programme, classique en exercice)
Pour $n\geqslant3$, $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles. L'idée : un élément de $\mathfrak{A}_n$ est un produit de paires de transpositions, et pour $a,b,c,d$ distincts, $$(a\ b)(b\ c)=(a\ b\ c),\qquad (a\ b)(c\ d)=(a\ b\ c)(b\ c\ d),$$ le cas $(a\ b)(a\ b)=\mathrm{id}$ étant trivial.
La signature intervient ensuite dans la définition du déterminant : $\det(A)=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^n a_{\sigma(j),j}$.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Signature par les inversions
- Conjugaison de permutations
Dans le cours
Groupe symétrique : Tester l'appartenance à $\mathfrak{A}_n$