Exercice corrigé : Générateurs de $\mathfrak{A}_n$ et morphismes vers $\mathbb{C}^*$ (type Mines-Ponts)

Soit $n\geqslant3$. On rappelle que la conjugaison est l'application $x\mapsto\gamma x\gamma^{-1}$.

1. Soit $a,b,c,d$ quatre éléments distincts de $[\![1,n]\!]$ (pour la seconde formule, $n\geqslant4$). Vérifier que $$(a\ b)(b\ c)=(a\ b\ c),\qquad (a\ b)(c\ d)=(a\ b\ c)(b\ c\ d).$$
2. En déduire que tout élément de $\mathfrak{A}_n$ est un produit de 3-cycles, puis que $\mathfrak{A}_n$ est exactement l'ensemble des produits de 3-cycles.
3. On suppose $n\geqslant5$. Soit $(x\ y\ z)$ un 3-cycle. Montrer qu'il existe $\gamma\in\mathfrak{A}_n$ telle que $\gamma(1\ 2\ 3)\gamma^{-1}=(x\ y\ z)$.
4. On suppose $n\geqslant5$. Soit $\varphi:\mathfrak{A}_n\to\mathbb{C}^*$ un morphisme de groupes. On pose $\omega=\varphi((1\ 2\ 3))$. Montrer que $\varphi$ vaut $\omega$ sur tous les 3-cycles, puis que $\omega^2=1$ et $\omega^3=1$. Conclure que $\varphi$ est le morphisme trivial.
5. Montrer que la conclusion de la question 4 est fausse pour $n=3$. Quelle étape de la question 3 tombe en défaut ?
6. On suppose $n\geqslant5$. À l'aide de la question 4, retrouver que tout morphisme $\psi:\mathfrak{S}_n\to\mathbb{C}^*$ est soit trivial, soit égal à $\varepsilon$.