Utiliser la formule du conjuguéRaisonner par l'absurdeDéterminer un ensemble de permutations commutant avec une permutation donnée
Le centre d'un groupe $G$ est $Z(G)=\{g\in G\mid \forall h\in G,\ gh=hg\}$.
- Déterminer $Z(\mathfrak{S}_1)$ et $Z(\mathfrak{S}_2)$.
- Soit $n\geqslant3$. Montrer que $Z(\mathfrak{S}_n)=\{\mathrm{id}\}$.
- Soit $n\geqslant2$ et $c=(1\ 2\ \cdots\ n)$. Déterminer l'ensemble des $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ telles que $\sigma c=c\sigma$ et son cardinal.
Indice 1
Pour la question 2, supposer $\sigma\neq\mathrm{id}$, choisir $i$ tel que $\sigma(i)\neq i$ et tester la commutation avec une transposition bien choisie.
Indice 2
$\sigma\tau=\tau\sigma$ équivaut à $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau$, et $\sigma(i\ k)\sigma^{-1}=(\sigma(i)\ \sigma(k))$.
Indice 3
Pour la question 3, montrer que $\sigma$ est entièrement déterminée par $\sigma(1)$, en utilisant $\sigma(c(k))=c(\sigma(k))$.
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