Calculer $I=\int_0^1 x\arctan x\,\mathrm{d}x$.
Le facteur qui se simplifie en dérivant est $\arctan$.
Après l'intégration par parties, écrire $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}$.
La fonction $x\mapsto x\arctan x$ est continue sur $[0,1]$. On intègre par parties avec $$u'(x)=x,\quad u(x)=\frac{x^2}{2},\quad v(x)=\arctan x,\quad v'(x)=\frac{1}{1+x^2},$$ $u$ et $v$ étant de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. Il vient $$I=\left[\frac{x^2}{2}\arctan x\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac\pi8-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x.$$ Comme $\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}$ : $$\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\big[x-\arctan x\big]_0^1=1-\frac\pi4.$$ Finalement $$I=\frac\pi8-\frac12+\frac\pi8=\frac\pi4-\frac12.$$ Variante. On peut choisir la primitive $u(x)=\frac{x^2+1}{2}$ de $x\mapsto x$. Alors $u(x)v'(x)=\frac12$ et $$I=\left[\frac{x^2+1}{2}\arctan x\right]_0^1-\int_0^1\frac12\,\mathrm{d}x=\frac\pi4-\frac12.$$ Contrôle : $\frac\pi4-\frac12\approx0{,}285$, et sur $[0,1]$ on a $0\le x\arctan x\le\frac\pi4$.
$\frac\pi4-\frac12$