Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $I_n=\int_0^1 x^ne^x\,\mathrm{d}x$.
- Calculer $I_0$ et montrer que, pour tout $n\ge1$, $I_n=e-nI_{n-1}$. En déduire $I_1$, $I_2$, $I_3$.
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\le I_n\le\frac{e}{n+1}$. En déduire la limite de $(I_n)$.
- Déterminer la limite de $(nI_n)$.
Intégrer par parties en dérivant $x^n$ et en intégrant $e^x$.
Sur $[0,1]$, $1\le e^x\le e$.
Écrire la relation de la question 1 au rang $n+1$ et isoler $(n+1)I_n$.
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$I_0=\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=e-1$. Soit $n\ge1$. On intègre par parties avec $u'(x)=e^x$, $u(x)=e^x$, $v(x)=x^n$, $v'(x)=nx^{n-1}$, fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ : $$I_n=\big[x^ne^x\big]_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,\mathrm{d}x=e-nI_{n-1},$$ car $0^n=0$ pour $n\ge1$. On en déduit : $$I_1=e-(e-1)=1,\quad I_2=e-2I_1=e-2,\quad I_3=e-3I_2=e-3e+6=6-2e.$$
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Pour $x\in[0,1]$, $0\le e^x\le e$ et $x^n\ge0$, donc $0\le x^ne^x\le ex^n$. Par positivité et croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre) : $$0\le I_n\le e\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\frac{e}{n+1}.$$ Par encadrement, $I_n\to0$.
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La relation de la question 1 au rang $n+1\ge1$ donne $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$, soit $(n+1)I_n=e-I_{n+1}$. Comme $I_{n+1}\to0$, on obtient $(n+1)I_n\to e$. Enfin $$nI_n=\frac{n}{n+1}\times(n+1)I_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}1\times e=e.$$ Ainsi $I_n\sim\frac{e}{n}$.
$I_3=6-2e$ ; $\lim I_n=0$ ; $\lim nI_n=e$