Calculer $K=\int_1^4\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x\,(1+\sqrt x)}$ à l'aide du changement de variable $x=t^2$.
Déterminer les nouvelles bornes : quelles valeurs de $t\ge0$ donnent $x=1$ et $x=4$ ?
Écrire $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ et simplifier $\sqrt{t^2}$ en tenant compte du signe de $t$.
La fonction $f:x\mapsto\frac{1}{\sqrt x(1+\sqrt x)}$ est continue sur $[1,4]$ car $\sqrt x>0$ sur cet intervalle.
On pose $\varphi(t)=t^2$ sur $[1,2]$. La fonction $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$, à valeurs dans $[1,4]$, avec $\varphi(1)=1$, $\varphi(2)=4$ et $\varphi'(t)=2t$. Pour $t\in[1,2]$, $t>0$ donc $\sqrt{t^2}=t$, et $$f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)=\frac{2t}{t(1+t)}=\frac{2}{1+t}.$$ Par le théorème de changement de variable : $$K=\int_{\varphi(1)}^{\varphi(2)}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_1^2\frac{2}{1+t}\,\mathrm{d}t=2\big[\ln(1+t)\big]_1^2=2(\ln3-\ln2).$$ Conclusion : $K=2\ln\frac32\approx0{,}811$.
$2\ln\frac32$