Mener un changement de variable : méthode (MPSI)
Mener un changement de variable
Pour calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ :
- Choisir $x=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$, ou dans l'autre sens $t=\psi(x)$ (on lit alors la formule de droite à gauche).
- Écrire $\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$.
- Changer les bornes : trouver $\alpha,\beta$ avec $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$.
- Remplacer tout $x$ par $\varphi(t)$ ; il ne doit plus rester de $x$.
- Simplifier avec soin, en particulier les racines carrées : $\sqrt{c^2}=|c|$.
Quart de disque
Calculons $I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$. On pose $x=\sin t$, $\varphi=\sin$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0,\frac\pi2\right]$, $\varphi(0)=0$, $\varphi\left(\frac\pi2\right)=1$, $\mathrm{d}x=\cos t\,\mathrm{d}t$.
Pour $t\in\left[0,\frac\pi2\right]$, $\cos t\ge0$, donc $\sqrt{1-\sin^2t}=|\cos t|=\cos t$. Ainsi $$I=\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\mathrm{d}t=\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos2t}{2}\,\mathrm{d}t=\left[\frac t2+\frac{\sin2t}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4.$$ C'est l'aire d'un quart de disque de rayon $1$.
Changement de variable dans l'autre sens
Calculons $J=\int_0^1\frac{x}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$. On pose $u=x^2$, soit $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ ; quand $x$ va de $0$ à $1$, $u$ va de $0$ à $1$. Formellement, on applique le théorème avec $\varphi(x)=x^2$ et $f(u)=\frac{1}{2(1+u^2)}$ : $$J=\int_0^1\frac{1}{1+(x^2)^2}\cdot\frac{2x}{2}\,\mathrm{d}x=\frac12\int_0^1\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\frac12\arctan1=\frac\pi8.$$
S’entraîner
Dans le cours
Intégration sur un segment : Mener un changement de variable