Changement de variableCalcul de primitives
On pose $I=\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x$.
- À l'aide du changement de variable $x=\pi-t$, montrer que $$I=\frac\pi2\int_0^\pi\frac{\sin t}{1+\cos^2t}\,\mathrm{d}t.$$
- En déduire la valeur de $I$.
Indice 1
Utiliser $\sin(\pi-t)=\sin t$ et $\cos(\pi-t)=-\cos t$.
Indice 2
Le changement de variable fait réapparaître $I$ au second membre : on obtient une équation en $I$.
Indice 3
Dériver $t\mapsto\arctan(\cos t)$.
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