Parité et périodicité : énoncé (MPSI)

Soit $f$ continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ et $a>0$.

• Si $f$ est paire : $\int_{-a}^a f=2\int_0^a f$.
• Si $f$ est impaire : $\int_{-a}^a f=0$.
• Si $f$ est $T$-périodique : $\int_c^{c+T}f$ ne dépend pas du réel $c$.

Preuve pour $f$ continue et impaire. Par Chasles, $\int_{-a}^a f=\int_{-a}^0 f+\int_0^a f$. Dans la première intégrale, on pose $x=-t$ : $\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^0 f(-t)(-\mathrm{d}t)=\int_a^0 f(t)\,\mathrm{d}t=-\int_0^a f$. La somme est nulle. Le cas pair est identique. Pour la périodicité, on dérive $c\mapsto\int_c^{c+T}f$ (cas continu) : la dérivée $f(c+T)-f(c)$ est nulle.