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Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Intégration par parties

Intégration par parties : énoncé (MPSI)

Théorème

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, et $a,b\in I$. Alors $$\int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t.$$

Démonstration : Intégration par parties
Démonstration

Preuve

La fonction $uv$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $(uv)'=u'v+uv'$, fonction continue. Par le théorème fondamental, $$\int_a^b\big(u'v+uv'\big)=\big[uv\big]_a^b.$$ On conclut par linéarité de l'intégrale.

Exemple

Trois intégrations par parties

  1. $\int_0^1 te^t\,\mathrm{d}t$ : on pose $u'(t)=e^t$, $u(t)=e^t$, $v(t)=t$, $v'(t)=1$ (fonctions $\mathcal{C}^1$). Alors $$\int_0^1 te^t\,\mathrm{d}t=\big[te^t\big]_0^1-\int_0^1 e^t\,\mathrm{d}t=e-(e-1)=1.$$
  2. $\int_1^e\ln t\,\mathrm{d}t$ : on pose $u'(t)=1$, $u(t)=t$, $v(t)=\ln t$, $v'(t)=\frac1t$. Alors $$\int_1^e\ln t\,\mathrm{d}t=\big[t\ln t\big]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}t=e-(e-1)=1.$$
  3. Intégrales de Wallis : $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n t\,\mathrm{d}t$. Pour $n\in\mathbb{N}$, on écrit $\sin^{n+2}=\sin\times\sin^{n+1}$, avec $u'=\sin$, $u=-\cos$, $v=\sin^{n+1}$, $v'=(n+1)\sin^n\cos$ : $$W_{n+2}=\big[-\cos t\sin^{n+1}t\big]_0^{\pi/2}+(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\sin^nt\,\mathrm{d}t.$$ Le crochet est nul. Avec $\cos^2=1-\sin^2$ : $W_{n+2}=(n+1)(W_n-W_{n+2})$, d'où $$W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n.$$

S’entraîner

Dans le cours

Intégration sur un segment : Intégration par parties