Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Changement de variable
Changement de variable : énoncé (MPSI)
Théorème
Changement de variable
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $\varphi:[\alpha,\beta]\to I$ de classe $\mathcal{C}^1$. Alors $$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.$$ Aucune hypothèse de bijectivité n'est nécessaire.
Démonstration : Changement de variable
Démonstration
Preuve
$f$ est continue sur $I$, donc admet une primitive $F$ sur $I$. La fonction $F\circ\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[\alpha,\beta]$, de dérivée $(f\circ\varphi)\times\varphi'$, qui est continue. Par le théorème fondamental appliqué deux fois : $$\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=F\big(\varphi(\beta)\big)-F\big(\varphi(\alpha)\big)=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathrm{d}x.$$