Reconnaître une somme de RiemannCalcul de primitives
Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2}\quad\text{et}\quad v_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n^2+k^2}.$$
- Déterminer la limite de $(u_n)$.
- Déterminer la limite de $(v_n)$.
Indice 1
Diviser numérateur et dénominateur par $n^2$ pour faire apparaître $\frac1n$ et le quotient $\frac kn$.
Indice 2
La fonction obtenue est $x\mapsto\frac{x}{1+x^2}$, dont une primitive est $\frac12\ln(1+x^2)$.
Indice 3
Pour $v_n$, l'indice va jusqu'à $2n$ : penser à la subdivision régulière de $[0,2]$ en $2n$ intervalles.
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