Convergence des sommes de Riemann : énoncé (MPSI)
Convergence des sommes de Riemann
Si $f$ est continue par morceaux sur $[a,b]$, alors $$\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t,$$ et de même pour la somme indexée par $k\in\{1,\dots,n\}$.
Cas particulier très fréquent, sur $[0,1]$ : $$\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right)=\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t.$$
Démonstration : Convergence des sommes de Riemann
Preuve dans le cas lipschitzien
On suppose $f$ $K$-lipschitzienne sur $[a,b]$ : $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$. C'est le cas si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$, avec $K=\sup_{[a,b]}|f'|$ (inégalité des accroissements finis).
Par Chasles, et puisque $\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\,\mathrm{d}t=hf(x_k)$ : $$\int_a^b f-S_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\big(f(t)-f(x_k)\big)\,\mathrm{d}t.$$ Pour $t\in[x_k,x_{k+1}]$, $|f(t)-f(x_k)|\le K(t-x_k)$. Par inégalité triangulaire et croissance : $$\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\big(f(t)-f(x_k)\big)\,\mathrm{d}t\right|\le\int_{x_k}^{x_{k+1}}K(t-x_k)\,\mathrm{d}t=\frac{Kh^2}{2}.$$ En sommant les $n$ termes : $$\left|\int_a^b f-S_n(f)\right|\le n\frac{Kh^2}{2}=\frac{K(b-a)^2}{2n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$ Pour $S'_n$ : $S'_n(f)-S_n(f)=h\big(f(b)-f(a)\big)\to0$, donc $S'_n(f)$ a la même limite.
Le cas général (continue par morceaux) est admis.
Vitesse de convergence
La preuve donne plus que la limite : pour $f$ lipschitzienne, l'erreur de la méthode des rectangles est un $O\left(\frac1n\right)$. C'est une information utile pour le calcul numérique.
Une limite classique : $\sum\frac{1}{n+k}$
Soit $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$. On factorise par $n$ au dénominateur : $$u_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac kn}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right)\quad\text{avec}\quad f(x)=\frac{1}{1+x}.$$ $f$ est continue sur $[0,1]$, donc $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\big[\ln(1+x)\big]_0^1=\ln2.$$
Avec un carré : $\sum\frac{n}{n^2+k^2}$
Soit $v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$. On divise numérateur et dénominateur par $n^2$ : $$v_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac kn\right)^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan1=\frac\pi4.$$
Un produit, via le logarithme
Soit $w_n=\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac kn\right)\right)^{1/n}$. On a $w_n>0$ et $$\ln w_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac kn\right)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_0^1\ln(1+x)\,\mathrm{d}x.$$ Une primitive de $x\mapsto\ln(1+x)$ est $x\mapsto(1+x)\ln(1+x)-(1+x)$, d'où $$\int_0^1\ln(1+x)\,\mathrm{d}x=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1.$$ Par continuité de l'exponentielle, $w_n\to e^{2\ln2-1}=\frac4e$.
S’entraîner
- Sommes de Riemann sur $[0,1]$ puis sur $[0,2]$
- Une somme et un produit de Riemann
- Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
- Intégrales $\int_0^{\pi/4}\tan^nx\,\mathrm{d}x$ et séries alternées (type CCINP)
- Erreur de la méthode des rectangles au premier ordre (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Intégration sur un segment : Convergence des sommes de Riemann