Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $$a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}\quad\text{et}\quad b_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)^{1/n}.$$
- Déterminer la limite de $(a_n)$.
- Calculer $\int_0^1\ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x$.
- Déterminer la limite de $(b_n)$.
Factoriser $n^2$ sous la racine.
Pour l'intégrale, intégrer par parties avec $u'=1$, puis écrire $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2}$.
Le terme $b_n$ est un produit strictement positif : étudier $\ln b_n$.
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Pour $1\le k\le n$, $n^2+2kn=n^2\left(1+\frac{2k}{n}\right)$, donc $\sqrt{n^2+2kn}=n\sqrt{1+\frac{2k}n}$ et $$a_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right)\quad\text{avec}\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2x}}.$$ $f$ est continue sur $[0,1]$. Par le théorème sur les sommes de Riemann, $$\lim_{n\to+\infty}a_n=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+2x}}=\big[\sqrt{1+2x}\big]_0^1=\sqrt3-1,$$ car la dérivée de $x\mapsto\sqrt{1+2x}$ est $\frac{2}{2\sqrt{1+2x}}=\frac1{\sqrt{1+2x}}$.
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On intègre par parties avec $u'(x)=1$, $u(x)=x$, $v(x)=\ln(1+x^2)$, $v'(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, fonctions $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ : $$\int_0^1\ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x=\big[x\ln(1+x^2)\big]_0^1-\int_0^1\frac{2x^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\ln2-2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x.$$ Or $\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x=1-\frac\pi4$. Donc $\int_0^1\ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x=\ln2-2+\frac\pi2$.
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Chaque facteur est strictement positif, donc $b_n>0$ et $$\ln b_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\left(\frac kn\right)^2\right).$$ La fonction $x\mapsto\ln(1+x^2)$ est continue sur $[0,1]$ : c'est une somme de Riemann, et $\ln b_n\to\ln2-2+\frac\pi2$. Par continuité de l'exponentielle, $$\lim_{n\to+\infty}b_n=e^{\ln2-2+\pi/2}=2e^{\frac\pi2-2}\approx1{,}30.$$
$\lim a_n=\sqrt3-1$ ; $\lim b_n=2e^{\pi/2-2}$