Théorème fondamental de l'analyse : énoncé (Terminale spé)

Soit $x\in[a\,;\,b]$. On étudie le taux d'accroissement $\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$ pour $h\neq0$ tel que $x+h\in[a\,;\,b]$.

Cas $h>0$. La différence $F(x+h)-F(x)$ est l'aire du domaine sous la courbe entre $x$ et $x+h$. Comme $f$ est croissante, pour tout $t\in[x\,;\,x+h]$, $f(x)\le f(t)\le f(x+h)$. Ce domaine contient donc le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x)$, et il est contenu dans le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x+h)$. D'où $$h\,f(x)\le F(x+h)-F(x)\le h\,f(x+h).$$ En divisant par $h>0$ : $$f(x)\le\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le f(x+h).$$

Cas $h<0$. Cette fois $F(x)-F(x+h)$ est l'aire du domaine entre $x+h$ et $x$, intervalle de longueur $-h>0$. Le même raisonnement donne $$-h\,f(x+h)\le F(x)-F(x+h)\le -h\,f(x).$$ En divisant par $-h>0$ et en remarquant que $\dfrac{F(x)-F(x+h)}{-h}=\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$ : $$f(x+h)\le\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le f(x).$$

Passage à la limite. $f$ est continue en $x$, donc $\lim\limits_{h\to0}f(x+h)=f(x)$. Dans les deux cas, le taux d'accroissement est encadré par $f(x)$ et $f(x+h)$, qui tendent tous deux vers $f(x)$. D'après le théorème des gendarmes, $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).$$ Donc $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$. Enfin $F(a)=\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t=0$.