Théorème de la bijection : énoncé (MPSI)
Théorème de la bijection
Soit $f$ continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$. Alors :
- $J = f(I)$ est un intervalle, dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$ ;
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ ;
- la bijection réciproque $f^{-1} : J \to I$ est continue, strictement monotone, de même sens de variation que $f$.
Par exemple, si $f$ est continue strictement croissante sur $[a, b[$, alors $J = \left[f(a), \lim\limits_{b^-} f\right[$ ; si elle est strictement décroissante sur $]a,b[$, alors $J = \left]\lim\limits_{b^-} f, \lim\limits_{a^+} f\right[$. Une borne de $I$ incluse donne une borne de $J$ incluse.
Démonstration : Théorème de la bijection
Preuve
On traite $f$ strictement croissante.
Bijection. $J = f(I)$ est un intervalle par le théorème précédent. $f$ est injective : si $x < x'$, alors $f(x) < f(x')$, donc $f(x) \neq f(x')$. Ainsi $f$ est une bijection de $I$ sur $J$. Les bornes de $J$ sont $\inf f$ et $\sup f$ sur $I$, qui sont les limites aux bornes par le théorème de la limite monotone.
Monotonie de $f^{-1}$. Soit $y < y'$ dans $J$, $x = f^{-1}(y)$, $x' = f^{-1}(y')$. Si l'on avait $x \geq x'$, la croissance de $f$ donnerait $y \geq y'$, ce qui est faux. Donc $x < x'$ : $f^{-1}$ est strictement croissante.
Continuité de $f^{-1}$. Posons $g = f^{-1}$ : $g$ est croissante sur $J$ et $g(J) = I$ est un intervalle. Soit $c$ un point intérieur à $J$ (les extrémités se traitent de même d'un seul côté). Par la limite monotone, $\lambda = \lim\limits_{c^-} g$ et $\mu = \lim\limits_{c^+} g$ existent et $\lambda \leq g(c) \leq \mu$. Supposons $\lambda < g(c)$. Pour $x < c$, $g(x) \leq \lambda$ ; pour $x \geq c$, $g(x) \geq g(c)$. Donc aucune valeur de $g$ n'est dans $]\lambda, g(c)[$. Or, en prenant $x_0 < c$ dans $J$, l'intervalle $I$ contient $g(x_0) \leq \lambda$ et $g(c)$, donc tout $]\lambda, g(c)[$, qui est non vide : contradiction. Donc $\lambda = g(c)$, et de même $\mu = g(c)$. La fonction $g$ est continue en $c$.
Une équation à paramètre
Soit $f(x) = x^3 + x$ sur $\mathbb{R}$. $f$ est continue, strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), avec $f(x) \to -\infty$ en $-\infty$ et $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.
Conséquence : pour tout $y \in \mathbb{R}$, l'équation $x^3 + x = y$ admet une unique solution réelle $\varphi(y) = f^{-1}(y)$, et la fonction $\varphi$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, sans qu'on en ait de formule simple.
Continuité et injectivité
Résultat classique, à savoir redémontrer : une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone. La continuité est indispensable : la fonction valant $x$ sur $[0,1[$ et $3 - x$ sur $[1, 2]$ est injective sur $[0,2]$ sans être monotone.
Fonctions à valeurs complexes
Le théorème des valeurs intermédiaires est faux pour les fonctions à valeurs complexes. La fonction $t \mapsto e^{it}$ est continue sur $[0, \pi]$, vaut $1$ en $0$ et $-1$ en $\pi$, mais ne s'annule jamais puisque $|e^{it}| = 1$. Le théorème repose sur l'ordre de $\mathbb{R}$.