Image d'un intervalle par une fonction continue : énoncé (MPSI)
Image d'un intervalle par une fonction continue
Si $f$ est continue sur l'intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle.
Démonstration : Image d'un intervalle par une fonction continue
Preuve
On rappelle qu'une partie $J$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si : pour tous $y_1 \leq y_2$ dans $J$, tout $y \in [y_1, y_2]$ est dans $J$.
Soit $y_1 \leq y_2$ dans $f(I)$ et $y \in [y_1, y_2]$. Il existe $a, b \in I$ tels que $f(a) = y_1$ et $f(b) = y_2$. Le réel $y$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ; par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = y$. Comme $I$ est un intervalle, $c \in I$, donc $y \in f(I)$. Ainsi $f(I)$ est un intervalle.
Polynôme de degré impair
Soit $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ un polynôme réel de degré $n$ impair, avec $a_n > 0$ (sinon on considère $-P$). Pour $x \neq 0$, $P(x) = a_n x^n \left(1 + \varepsilon(x)\right)$ avec $\varepsilon(x) \to 0$ en $\pm\infty$. Comme $n$ est impair, $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ et $x^n \to -\infty$ en $-\infty$. Donc $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et $P(x) \to -\infty$ en $-\infty$.
Il existe donc $A > 0$ tel que $P(A) > 0$ et $P(-A) < 0$. La fonction $P$ est continue sur $[-A, A]$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ s'annule sur $[-A, A]$. Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.
Point fixe sur un segment
Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ continue. Posons $g(x) = f(x) - x$, continue sur $[0,1]$. On a $g(0) = f(0) \geq 0$ et $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ car $f$ est à valeurs dans $[0,1]$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [0,1]$ tel que $g(c) = 0$, soit $f(c) = c$ : $f$ admet un point fixe.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Point fixe d'une fonction contractante
Dans le cours
Limites et continuité : Image d'un intervalle par une fonction continue