Théorème des valeurs intermédiaires : énoncé (MPSI)

Quitte à échanger $a$ et $b$, on suppose $a \leq b$. Posons $g = f - y$ : $g$ est continue sur $[a,b]$ et $g(a)$, $g(b)$ sont de signes opposés au sens large. Quitte à remplacer $g$ par $-g$, on suppose $g(a) \leq 0 \leq g(b)$. Il s'agit de trouver $c \in [a,b]$ tel que $g(c) = 0$.

On construit deux suites par récurrence : $a_0 = a$, $b_0 = b$, puis, en notant $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ :

• si $g(m_n) \leq 0$, $a_{n+1} = m_n$ et $b_{n+1} = b_n$ ;
• sinon, $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = m_n$.

Par récurrence immédiate, pour tout $n$ : $a \leq a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \leq b$, $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$, $g(a_n) \leq 0$ et $g(b_n) \geq 0$ (dans le second cas, $g(m_n) > 0$).

La suite $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ décroissante et $b_n - a_n \to 0$ : ces suites sont adjacentes et convergent vers une même limite $c$. Par passage à la limite dans $a \leq a_n \leq b$, on a $c \in [a,b]$.

Par continuité de $g$ en $c$ et caractérisation séquentielle, $g(a_n) \to g(c)$ et $g(b_n) \to g(c)$. Par passage à la limite dans les inégalités, $g(c) \leq 0$ et $g(c) \geq 0$. Donc $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = y$.