Prouver qu'une équation $f(x) = y$ a une solution : méthode (MPSI)

1. Ramener l'équation à la forme $g(x) = 0$ avec $g$ continue sur un intervalle (souvent $g = f - y$ ou $g(x) = f(x) - x$).
2. Trouver deux points $\alpha, \beta$ de l'intervalle où $g$ prend des valeurs de signes opposés. Si l'intervalle est ouvert ou infini, utiliser les limites de $g$ aux bornes pour obtenir de tels points.
3. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en citant la continuité.
4. Pour l'unicité, prouver que $g$ est strictement monotone (ou injective).

On peut aussi raisonner directement avec l'image : si $g$ est continue sur $I$ et que $0$ est strictement compris entre deux valeurs (ou limites) de $g$, alors $0 \in g(I)$ car $g(I)$ est un intervalle.