Exercice corrigé : Suite de racines de $x^n + x - 1 = 0$ (type CCINP)

1. $f_n$ est continue sur $[0, +\infty[$ et strictement croissante, comme somme de $x \mapsto x^n$ et $x \mapsto x$, strictement croissantes sur $[0, +\infty[$. On a $f_n(0) = -1 < 0$ et $f_n(1) = 1 > 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f_n$ s'annule sur $]0, 1[$ ; par stricte monotonie, elle s'annule au plus une fois sur $[0, +\infty[$. D'où l'existence et l'unicité de $x_n$, avec $x_n \in ]0, 1[$.

2. $f_1(x) = 2x - 1$, donc $x_1 = \frac{1}{2}$. $f_2(x) = x^2 + x - 1$ a pour racines $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ ; la seule positive est $x_2 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

3. Comme $f_n(x_n) = 0$, on a $x_n - 1 = -x_n^n$. Donc $$f_{n+1}(x_n) = x_n^{n+1} + x_n - 1 = x_n^{n+1} - x_n^n = x_n^n(x_n - 1) < 0,$$ car $x_n \in ]0, 1[$. Ainsi $f_{n+1}(x_n) < 0 = f_{n+1}(x_{n+1})$. Si l'on avait $x_n \geq x_{n+1}$, la croissance de $f_{n+1}$ donnerait $f_{n+1}(x_n) \geq f_{n+1}(x_{n+1})$, ce qui est faux. Donc $x_n < x_{n+1}$ : la suite est strictement croissante.

4. La suite $(x_n)$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge vers un réel $\ell$ avec $\ell \leq 1$ par passage à la limite, et $\ell \geq x_1 = \frac{1}{2}$ par croissance.

Supposons $\ell < 1$. Pour tout $n$, $0 < x_n \leq \ell$ (suite croissante de limite $\ell$), donc $0 < x_n^n \leq \ell^n$. Comme $0 < \ell < 1$, $\ell^n \to 0$, et par encadrement $x_n^n \to 0$. Alors $x_n = 1 - x_n^n \to 1$, donc $\ell = 1$ par unicité de la limite : contradiction. Donc $\ell = 1$.

5. Pour tout $n$, $x_n^n = 1 - x_n$, qui tend vers $1 - 1 = 0$. Donc $x_n^n \to 0$. On remarque que $x_n^n$ est a priori une forme indéterminée $1^\infty$ : c'est la relation $f_n(x_n) = 0$ qui permet de conclure.

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