Théorème d'encadrement : énoncé (MPSI)
Théorème d'encadrement
Soit $f, g, h$ définies sur $I$ telles que $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$. Si $f$ et $h$ tendent vers une même limite réelle $\ell$ en $a$, alors $g$ admet une limite en $a$ et cette limite vaut $\ell$.
Démonstration : Théorème d'encadrement
Preuve (cas $a$ réel)
Soit $\eta_0 > 0$ tel que $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ pour $x \in I$, $|x - a| \leq \eta_0$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\eta_1, \eta_2 > 0$ tels que $|x-a| \leq \eta_1 \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ et $|x-a| \leq \eta_2 \implies |h(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Posons $\eta = \min(\eta_0, \eta_1, \eta_2)$. Pour $x \in I$ tel que $|x-a| \leq \eta$ : $$\ell - \varepsilon \leq f(x) \leq g(x) \leq h(x) \leq \ell + \varepsilon,$$ donc $|g(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Ainsi $g \to \ell$ en $a$.
S’entraîner
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Encadrements avec partie entière et sinus
- Équation fonctionnelle de Cauchy (type Mines-Ponts)