Densité de $\mathbb{Q}$ et caractérisation séquentiellePropagation de la continuitéThéorème d'encadrement avec une fonction monotoneRésolution d'équations fonctionnelles
On cherche les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant $$(\mathcal{C}) \qquad \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\quad f(x + y) = f(x) + f(y).$$ Soit $f$ vérifiant $(\mathcal{C})$ et $a = f(1)$.
- Montrer que $f(0) = 0$ et que $f$ est impaire.
- Montrer que $f(nx) = nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$.
- Montrer que $f(r) = ar$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$.
- On suppose $f$ continue en $0$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, puis que $f(x) = ax$ pour tout réel $x$.
- On suppose maintenant seulement $f$ croissante. Montrer encore que $f(x) = ax$ pour tout réel $x$.
- Application. Déterminer les fonctions $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continues telles que $g(x + y) = g(x)g(y)$ pour tous réels $x, y$.
Indice 1
Prendre $x = y = 0$, puis $y = -x$.
Indice 2
Récurrence sur $n \in \mathbb{N}$, puis imparité pour $n < 0$. Pour $r = \frac{p}{q}$, calculer $f\left(q \cdot \frac{p}{q}\right)$ de deux façons.
Indice 3
Pour approcher $x$ par des rationnels, considérer $r_n = \frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$ et $s_n = \frac{\lfloor nx \rfloor + 1}{n}$.
Indice 4
Pour la question 6, montrer que $g \geq 0$ en écrivant $g(x) = g\left(\frac{x}{2}\right)^2$, distinguer le cas où $g$ s'annule, puis composer par $\ln$.
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