Prépa, 1re année › Limites et continuité › Signe au voisinage d'une limite
Signe au voisinage d'une limite : énoncé (MPSI)
Propriété
Signe au voisinage d'une limite
Si $f$ tend vers $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$ et si $m < \ell$ ($m$ réel), alors $f(x) > m$ au voisinage de $a$. En particulier, une fonction de limite strictement positive est strictement positive au voisinage de $a$.
Démonstration : Signe au voisinage d'une limite
Démonstration
Preuve (cas $\ell$ réel)
Posons $\varepsilon = \frac{\ell - m}{2} > 0$. Au voisinage de $a$, $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$, donc $f(x) \geq \ell - \varepsilon = \frac{\ell + m}{2} > m$. Si $\ell = +\infty$, on applique directement la définition avec $A = m + 1$.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Encadrements avec partie entière et sinus
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Une fonction continue injective est strictement monotone