Soit $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par $g(x) = \sin(\ln x)$.
- Montrer que $g$ n'admet pas de limite en $0^+$.
- La fonction $g$ admet-elle une limite en $+\infty$ ?
- Soit $h(x) = x \sin(\ln x)$ pour $x > 0$. Montrer que $h$ est prolongeable par continuité en $0$ et préciser la valeur du prolongement.
Chercher des réels $x$ pour lesquels $\ln x$ est un multiple de $2\pi$, puis d'autres pour lesquels $\ln x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.
Pour aller vers $0^+$, il faut $\ln x \to -\infty$ ; pour aller vers $+\infty$, il faut $\ln x \to +\infty$.
Pour $h$, le sinus est borné.
1. Pour $n \in \mathbb{N}$, posons $u_n = e^{-2n\pi}$ et $v_n = e^{\frac{\pi}{2} - 2n\pi}$. Ces suites sont à valeurs dans $]0, +\infty[$ et tendent vers $0$ car leurs exposants tendent vers $-\infty$. On a $$g(u_n) = \sin(-2n\pi) = 0, \qquad g(v_n) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2n\pi\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1.$$ Si $g$ avait une limite $\ell$ en $0^+$, la caractérisation séquentielle donnerait $g(u_n) \to \ell$ et $g(v_n) \to \ell$, donc $\ell = 0$ et $\ell = 1$ : contradiction. La fonction $g$ n'a pas de limite en $0^+$.
2. De même, $u'_n = e^{2n\pi}$ et $v'_n = e^{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$ tendent vers $+\infty$, avec $g(u'_n) = 0$ et $g(v'_n) = 1$ pour tout $n$. Par le même raisonnement, $g$ n'a pas de limite en $+\infty$.
3. Pour $x > 0$, $|\sin(\ln x)| \leq 1$ donne $-x \leq h(x) \leq x$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $0^+$ ; par le théorème d'encadrement, $h(x) \to 0$ quand $x \to 0^+$. La limite est finie : $h$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $h(0) = 0$. Le prolongement est continu en $0$ par construction et sur $]0, +\infty[$ comme produit et composée de fonctions continues.
Pas de limite en $0^+$ ni en $+\infty$ ; $h$ se prolonge par $h(0) = 0$