Irrationalité de $\sqrt{2}$ : énoncé (MPSI)

Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$. Comme $\sqrt{2}>0$, on peut écrire $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}^*$ et la fraction irréductible.

En élevant au carré : $p^2=2q^2$. Donc $p^2$ est pair, et d'après l'exemple précédent, $p$ est pair : $p=2k$ avec $k\in\mathbb{N}^*$.

Alors $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$. Donc $q^2$ est pair, puis $q$ est pair.

Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $2$, ce qui contredit l'irréductibilité de $\dfrac{p}{q}$. L'hypothèse est absurde : $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$.