- Montrer que le réel $\dfrac{\ln 2}{\ln 10}$ est irrationnel.
- Montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.
- En déduire que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est irrationnel.
Question 1 : si $\dfrac{\ln 2}{\ln 10}=\dfrac{p}{q}$, justifier que $p,q\in\mathbb{N}^*$, puis obtenir une égalité entre entiers en passant à l'exponentielle.
Comparer la parité des deux membres de cette égalité entre entiers.
Question 2 : s'inspirer de la preuve pour $\sqrt{2}$, en utilisant que $n^2$ pair implique $n$ pair.
Question 3 : élever $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ au carré.
- Supposons par l'absurde que $\dfrac{\ln 2}{\ln 10}\in\mathbb{Q}$. Comme $1<2<10$, on a $\ln 2>0$ et $\ln 10>0$, donc ce quotient est strictement positif : on peut l'écrire $\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}^*$.
Alors $q\ln 2=p\ln 10$, puis, en appliquant l'exponentielle, $2^q=10^p=2^p\,5^p$. Comme $5^p>1$, on a $2^q>2^p$, donc $q>p$. En divisant par $2^p$ : $$2^{q-p}=5^p.$$ Le membre de gauche est pair car $q-p\geq 1$. Le membre de droite est impair, comme produit de nombres impairs. C'est une contradiction. Donc $\dfrac{\ln 2}{\ln 10}\notin\mathbb{Q}$.
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Supposons par l'absurde que $\sqrt{6}\in\mathbb{Q}$. Comme $\sqrt{6}>0$, on écrit $\sqrt{6}=\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}^*$ et la fraction irréductible. Alors $p^2=6q^2=2(3q^2)$ est pair, donc $p$ est pair (résultat du cours) : $p=2k$ avec $k\in\mathbb{N}^*$. Il vient $4k^2=6q^2$, soit $2k^2=3q^2$. Donc $3q^2$ est pair. Si $q$ était impair, $3q^2$ serait impair comme produit d'impairs ; donc $q$ est pair. Ainsi $2$ divise $p$ et $q$, ce qui contredit l'irréductibilité. Donc $\sqrt{6}\notin\mathbb{Q}$.
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Supposons par l'absurde que $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{Q}$. Alors $r^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$, donc $$\sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}.$$ Ce nombre est rationnel, car $\mathbb{Q}$ est stable par produit, différence et division par $2$. Cela contredit la question 2. Donc $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$.
$\frac{\ln 2}{\ln 10}\notin\mathbb{Q}$, $\sqrt{6}\notin\mathbb{Q}$, $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$