Infinité des nombres premiers : énoncé (MPSI)
Infinité des nombres premiers
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Démonstration : Infinité des nombres premiers
Preuve par l'absurde
On utilise le fait que tout entier $N\geq 2$ admet au moins un diviseur premier ; ce résultat est démontré par récurrence forte dans la dernière section.
Supposons par l'absurde qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1,\dots,p_r$. Posons $N=p_1p_2\cdots p_r+1$. On a $N\geq 2$, donc $N$ admet un diviseur premier $p$. Ce $p$ est l'un des $p_i$, donc $p$ divise $p_1\cdots p_r$. Il divise alors la différence $N-p_1\cdots p_r=1$, ce qui est impossible car $p\geq 2$. L'hypothèse est absurde.
Contraposée ou absurde
Les deux raisonnements sont proches mais différents. Par contraposée, on part de $\neg Q$ et on doit arriver précisément à $\neg P$. Par l'absurde, pour démontrer $P\Rightarrow Q$, on suppose $P$ et $\neg Q$, et on cherche une contradiction quelconque.
Une preuve par l'absurde qui n'utilise jamais l'hypothèse $P$ est en réalité une preuve directe de $Q$ ; une preuve « par l'absurde » dont la contradiction est « $\neg P$ alors que $P$ » est une contraposée déguisée, qu'il vaut mieux rédiger comme telle.
S’entraîner
Dans le cours
Logique et raisonnements : Infinité des nombres premiers
- Raisonnement direct
- Raisonnement par contraposée
- Raisonnement par l'absurde
- Irrationalité de $\sqrt{2}$
- Disjonction de cas
Voir aussi en Maths expertes : Infinité des nombres premiers