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Prépa, 1re année › Logique et raisonnements › Raisonnement par contraposée

Raisonnement par contraposée : méthode (MPSI)

Méthode

Raisonnement par contraposée

Pour démontrer $P\Rightarrow Q$, on démontre l'implication équivalente $(\neg Q)\Rightarrow(\neg P)$ :

  1. annoncer « Raisonnons par contraposée » ;
  2. supposer $\neg Q$ ;
  3. aboutir à $\neg P$.

On l'utilise quand $\neg Q$ est une hypothèse plus facile à exploiter que $P$ (typiquement, quand $Q$ est une négation : « $n$ n'est pas … », « $x\neq\dots$ »).

Exemple

Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair

Soit $n\in\mathbb{Z}$. Raisonnons par contraposée : supposons $n$ impair et montrons que $n^2$ est impair.

Il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$. Alors $$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$ avec $2k^2+2k\in\mathbb{Z}$. Donc $n^2$ est impair.

Par contraposée : pour tout $n\in\mathbb{Z}$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. Le raisonnement direct (partir de $n^2=2m$) ne mène nulle part.

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Dans le cours

Logique et raisonnements : Raisonnement par contraposée