Prépa, 1re année › Logique et raisonnements › Disjonction de cas
Disjonction de cas : méthode (MPSI)
Méthode
Disjonction de cas
Pour démontrer $\forall x\in E,\ P(x)$, on découpe $E$ en parties $E_1,\dots,E_k$ dont la réunion est $E$, et on démontre $P(x)$ dans chaque cas. Il faut vérifier que les cas recouvrent tout $E$ (ils peuvent se chevaucher).
Exemple
Une inégalité avec valeurs absolues
Montrons que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|x-1|+|x+1|\geq 2$. Soit $x\in\mathbb{R}$.
- Si $x\leq -1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(-x-1)=-2x\geq 2$.
- Si $-1\leq x\leq 1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(x+1)=2$.
- Si $x\geq 1$ : $|x-1|+|x+1|=(x-1)+(x+1)=2x\geq 2$.
Les trois cas recouvrent $\mathbb{R}$, donc l'inégalité est vraie pour tout réel $x$.
S’entraîner
- Condition nécessaire, condition suffisante
- Deux raisonnements par contraposée
- Carrés et restes : disjonctions de cas