Caractérisations de l'inversibilité : énoncé (MPSI)

Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $A$ est inversible ;
2. il existe $B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telle que $AB=I_n$ (inverse à droite) ;
3. il existe $B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telle que $BA=I_n$ (inverse à gauche) ;
4. pour $X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$, $AX=0\Rightarrow X=0$ ;
5. pour tout $Y\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$, l'équation $AX=Y$ admet une unique solution ;
6. les colonnes de $A$ forment une base de $\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$ ($\operatorname{rg}A=n$).

Dans les cas 2 et 3, on a alors $B=A^{-1}$. La démonstration repose sur le lien avec les applications linéaires (section 3).