Inverser une matrice carrée : méthode (MPSI)
Inverser une matrice carrée
- Résolution de système : résoudre $AX=Y$ pour $Y$ quelconque. Si on obtient une unique solution $X=BY$, alors $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.
- Polynôme annulateur : si $a_kA^k+\dots+a_1A+a_0I_n=0$ avec $a_0\neq0$, alors $$A\cdot\Big(-\frac1{a_0}(a_kA^{k-1}+\dots+a_1I_n)\Big)=I_n,$$ ce qui donne $A^{-1}$ (un inverse à droite suffit).
- Pivot de Gauss-Jordan sur $(A\mid I_n)$ (section 6).
Pour prouver qu'une matrice n'est pas inversible, il suffit d'exhiber $X\neq0$ avec $AX=0$, par exemple une relation de dépendance entre colonnes.
Inverse par polynôme annulateur
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. On calcule $A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$ et $A^2-5A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2$.
Donc $A\cdot\frac12(A-5I_2)=I_2$ : $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \frac32&-\frac12\end{pmatrix}.$$ On retrouve la formule $2\times2$ avec $ad-bc=-2$.
Simplification
$AB=AC$ n'entraîne pas $B=C$ en général : avec les matrices $C,D$ de la section 1, $CD=0=C\cdot0$ alors que $D\neq0$. La simplification est légitime si $A$ est inversible : on multiplie à gauche par $A^{-1}$.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Inversion par Gauss-Jordan
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues