Matrices triangulaires inversibles : énoncé (MPSI)

Supposons tous les $t_{ii}$ non nuls. Le système $TX=Y$ s'écrit, pour $i$ de $n$ à $1$ : $t_{ii}x_i+\sum_{j>i}t_{ij}x_j=y_i$. On le résout par remontée : $x_n=\frac{y_n}{t_{nn}}$, puis chaque $x_i$ se calcule à partir de $x_{i+1},\dots,x_n$. La solution existe et est unique : $T$ est inversible (critère 5). De plus, par récurrence descendante, $x_i$ ne dépend que de $y_i,\dots,y_n$, avec coefficient $\frac1{t_{ii}}$ devant $y_i$ : la matrice $T^{-1}$ telle que $X=T^{-1}Y$ est triangulaire supérieure de diagonale $\big(\frac1{t_{ii}}\big)$.

Supposons $t_{kk}=0$ pour un certain $k$. Les colonnes $C_1,\dots,C_k$ de $T$ n'ont de coefficients non nuls que sur les lignes $1$ à $k-1$ (pour $C_k$, car $t_{kk}=0$). Ce sont $k$ vecteurs d'un espace de dimension $k-1$ : ils sont liés, donc les colonnes de $T$ ne forment pas une base et $T$ n'est pas inversible.