Prépa, 1re année › Matrices › Cas des matrices $2\times2$
Cas des matrices $2\times2$ : énoncé (MPSI)
Propriété
Cas des matrices $2\times2$
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq0$, et alors $$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$
Démonstration : Cas des matrices $2\times2$
Démonstration
Inverse d'une matrice $2\times2$
Posons $M=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. Un calcul direct donne $AM=MA=(ad-bc)I_2$.
Si $ad-bc\neq0$, alors $A\cdot\frac1{ad-bc}M=\frac1{ad-bc}M\cdot A=I_2$.
Si $ad-bc=0$, alors $AM=0$. Supposons $A$ inversible : en multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient $M=0$, donc $a=b=c=d=0$ et $A=0$, qui n'est pas inversible. Contradiction : $A$ n'est pas inversible.
S’entraîner
- Rang, noyau, image et équivalence
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Semblables ou non
- Matrices qui commutent
- Matrices de rang 1