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Prépa, 1re année › Matrices › Inverse d'un produit, d'une transposée

Inverse d'un produit, d'une transposée : énoncé (MPSI)

Propriété

Inverse d'un produit, d'une transposée

Pour $A,B\in GL_n(\mathbb K)$ :

  • $AB\in GL_n(\mathbb K)$ et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ;
  • $A^\top\in GL_n(\mathbb K)$ et $(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top$ ;
  • $A^{-1}\in GL_n(\mathbb K)$ et $(A^{-1})^{-1}=A$.
Démonstration : Inverse d'un produit, d'une transposée
Démonstration

Inverse d'un produit et d'une transposée

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I_n$ et de même $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I_n$.

Par transposition du produit : $A^\top(A^{-1})^\top=(A^{-1}A)^\top=I_n^\top=I_n$, et $(A^{-1})^\top A^\top=(AA^{-1})^\top=I_n$.

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Dans le cours

Matrices : Inverse d'un produit, d'une transposée