Inégalité triangulaire : énoncé (Maths expertes)

On a $|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+|z'|^2+z\overline{z'}+\overline{z}z'$.

Or $\overline{z}z'=\overline{z\overline{z'}}$, donc $z\overline{z'}+\overline{z}z'=2\,\mathrm{Re}\left(z\overline{z'}\right)$.

Pour tout complexe $w=x+iy$, $\mathrm{Re}(w)=x\leq |x|=\sqrt{x^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}=|w|$. Donc $$|z+z'|^2\leq |z|^2+|z'|^2+2\left|z\overline{z'}\right|=|z|^2+|z'|^2+2|z|\,|z'|=\left(|z|+|z'|\right)^2.$$ Les deux membres $|z+z'|$ et $|z|+|z'|$ étant positifs, on conclut $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.