Prépa, 1re année › Nombres réels › Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues

Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues : méthode (MPSI)

Méthode

Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues

S'il n'y a qu'une valeur absolue du type $|u| \le a$ ou $|u| < a$, on la remplace par un encadrement $-a \le u \le a$.
S'il y en a plusieurs, on repère les points où chaque expression change de signe.
On dresse un tableau donnant l'expression sans valeur absolue sur chaque intervalle.
On résout sur chaque intervalle et on garde seulement les solutions qui appartiennent à l'intervalle étudié.
On réunit les solutions.

Exemple

Une seule valeur absolue

Résoudre $|2x - 3| < 5$. $$|2x - 3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5 \iff -2 < 2x < 8 \iff -1 < x < 4.$$ L'ensemble des solutions est $]-1, 4[$.

Exemple

Plusieurs valeurs absolues

Résoudre $|x - 1| + |x + 2| = 5$. Les expressions changent de signe en $-2$ et en $1$.

$x$	$x < -2$	$-2 \le x < 1$	$x \ge 1$
$\lvert x-1 \rvert$	$1 - x$	$1 - x$	$x - 1$
$\lvert x+2 \rvert$	$-x - 2$	$x + 2$	$x + 2$
somme	$-2x - 1$	$3$	$2x + 1$

Si $x < -2$ : $-2x - 1 = 5 \iff x = -3$, qui vérifie bien $x < -2$.
Si $-2 \le x < 1$ : la somme vaut $3 \neq 5$, pas de solution.
Si $x \ge 1$ : $2x + 1 = 5 \iff x = 2$, qui vérifie bien $x \ge 1$.

L'ensemble des solutions est $\{-3, 2\}$.

Exemple

Majorer une expression

Si $|x| \le 1$, alors par l'inégalité triangulaire : $$|x^2 + 3x - 1| \le |x|^2 + 3|x| + 1 \le 1 + 3 + 1 = 5.$$ On majore chaque terme en valeur absolue. On n'obtient en général pas la meilleure borne, mais une borne correcte, ce qui suffit souvent.

S’entraîner

Dans le cours

Nombres réels : Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues