Exercice corrigé : Équations avec partie entière

1. $\lfloor 2x - 1 \rfloor = 3 \iff 3 \le 2x - 1 < 4 \iff 4 \le 2x < 5 \iff 2 \le x < \dfrac52$. Solutions : $\left[2, \dfrac52\right[$.

2. Pour $x \ge 0$ : $\lfloor \sqrt x \rfloor = 3 \iff 3 \le \sqrt x < 4$. Le carré et la racine étant strictement croissants sur $\mathbb{R}_+$, cela équivaut à $9 \le x < 16$. Solutions : $[9, 16[$.

3. Si $x$ est solution, $n = 2x - 1 = \lfloor x \rfloor$ est un entier et $x = \dfrac{n + 1}{2}$. La condition devient $\left\lfloor \dfrac{n+1}{2} \right\rfloor = n$, c'est-à-dire $$n \le \frac{n + 1}{2} < n + 1 \iff 2n \le n + 1 < 2n + 2 \iff (n \le 1 \text{ et } n > -1).$$ Comme $n$ est entier, $n \in \{0, 1\}$, ce qui donne $x = \dfrac12$ ou $x = 1$.

Réciproquement : $\left\lfloor \dfrac12 \right\rfloor = 0 = 2 \times \dfrac12 - 1$ et $\lfloor 1 \rfloor = 1 = 2 \times 1 - 1$. Solutions : $\left\{\dfrac12, 1\right\}$.

4. On écrit $x = n + t$ avec $n = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}$ et $t \in [0, 1[$. Comme $2n$ est entier, $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor 2n + 2t \rfloor = 2n + \lfloor 2t \rfloor$. L'équation équivaut donc à $\lfloor 2t \rfloor = 0$, c'est-à-dire $0 \le 2t < 1$, soit $t \in \left[0, \dfrac12\right[$. Ainsi $x$ est solution si et seulement si $x - \lfloor x \rfloor < \dfrac12$, c'est-à-dire $$x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left[n, n + \frac12\right[.$$

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