- Déterminer $\left\lfloor -\dfrac{7}{3} \right\rfloor$, $\left\lfloor \sqrt{50} \right\rfloor$ et $\left\lfloor -\sqrt{10} \right\rfloor$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer $\left\lfloor \sqrt{4n^2 + 3n} \right\rfloor$.
- Déterminer les valeurs décimales approchées $d_2$ et $e_2$ de $\sqrt{3}$ à la précision $10^{-2}$, par défaut et par excès. Même question pour $-\sqrt{3}$.
Dans chaque cas, proposer un entier candidat $n$ puis prouver $n \le y < n + 1$.
Pour une racine carrée, encadrer le radicande entre deux carrés parfaits consécutifs.
Pour $d_2$, il s'agit de calculer $\lfloor 100\sqrt{3} \rfloor$ : comparer $1{,}73^2$ et $1{,}74^2$ à $3$.
- On a $-\dfrac{9}{3} \le -\dfrac{7}{3} < -\dfrac{6}{3}$, soit $-3 \le -\dfrac73 < -2$. Par unicité, $\left\lfloor -\dfrac73 \right\rfloor = -3$.
On a $49 \le 50 < 64$ et la racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$, donc $7 \le \sqrt{50} < 8$ : $\left\lfloor \sqrt{50} \right\rfloor = 7$.
De $9 < 10 < 16$ on tire $3 < \sqrt{10} < 4$, puis $-4 < -\sqrt{10} < -3$. En particulier $-4 \le -\sqrt{10} < -3$, donc $\left\lfloor -\sqrt{10} \right\rfloor = -4$ (et non $-3$ : ce n'est pas une troncature).
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On a $(2n)^2 = 4n^2 \le 4n^2 + 3n$ car $n \ge 0$, et $4n^2 + 3n < 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2$ car $3n < 4n + 1$. Par stricte croissance de la racine carrée sur $\mathbb{R}_+$ : $$2n \le \sqrt{4n^2 + 3n} < 2n + 1.$$ Par unicité, $\left\lfloor \sqrt{4n^2 + 3n} \right\rfloor = 2n$.
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On calcule $1{,}73^2 = 2{,}9929 < 3$ et $1{,}74^2 = 3{,}0276 > 3$. Donc $1{,}73 < \sqrt3 < 1{,}74$, c'est-à-dire $173 < 100\sqrt{3} < 174$. Ainsi $\lfloor 100\sqrt3 \rfloor = 173$ et $$d_2 = 1{,}73, \qquad e_2 = d_2 + 10^{-2} = 1{,}74.$$ Pour $-\sqrt3$ : $-174 < -100\sqrt3 < -173$, donc $\lfloor -100\sqrt3 \rfloor = -174$ et $$d_2 = -1{,}74, \qquad e_2 = -1{,}73.$$
$-3$ ; $7$ ; $-4$ ; $2n$ ; pour $\sqrt3$ : $d_2 = 1{,}73$, $e_2 = 1{,}74$ ; pour $-\sqrt3$ : $d_2 = -1{,}74$, $e_2 = -1{,}73$