Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
- $|3x + 1| \le 4$ ;
- $|x - 2| > 3$ ;
- $|x + 1| = |2x - 3|$ ;
- $|x| + |x - 3| \le 5$.
Pour 1 et 2, utiliser $|u| \le a \iff -a \le u \le a$ et $|u| > a \iff (u < -a \text{ ou } u > a)$.
Pour 3, deux réels ont même valeur absolue si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.
Pour 4, découper $\mathbb{R}$ selon les points $0$ et $3$ et ne garder que les solutions appartenant à chaque intervalle.
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$|3x + 1| \le 4 \iff -4 \le 3x + 1 \le 4 \iff -5 \le 3x \le 3 \iff -\dfrac{5}{3} \le x \le 1$. L'ensemble des solutions est $\left[-\dfrac{5}{3}, 1\right]$.
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$|x - 2| > 3 \iff (x - 2 < -3 \text{ ou } x - 2 > 3) \iff (x < -1 \text{ ou } x > 5)$. L'ensemble des solutions est $]-\infty, -1[\, \cup\, ]5, +\infty[$.
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Pour deux réels $u, v$ : $|u| = |v| \iff u^2 = v^2 \iff (u - v)(u + v) = 0 \iff (u = v \text{ ou } u = -v)$.
- $x + 1 = 2x - 3 \iff x = 4$ ;
- $x + 1 = -(2x - 3) \iff 3x = 2 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
Vérification : pour $x = 4$, $|5| = |5|$ ; pour $x = \dfrac23$, $\left|\dfrac53\right| = \left|-\dfrac53\right|$. L'ensemble des solutions est $\left\{\dfrac23, 4\right\}$.
- Les expressions $x$ et $x - 3$ changent de signe en $0$ et $3$.
| $x$ | $x < 0$ | $0 \le x < 3$ | $x \ge 3$ |
|---|---|---|---|
| $\lvert x \rvert$ | $-x$ | $x$ | $x$ |
| $\lvert x-3 \rvert$ | $3 - x$ | $3 - x$ | $x - 3$ |
| somme | $3 - 2x$ | $3$ | $2x - 3$ |
- Si $x < 0$ : $3 - 2x \le 5 \iff x \ge -1$. Solutions : $[-1, 0[$.
- Si $0 \le x < 3$ : $3 \le 5$ est vrai. Solutions : $[0, 3[$.
- Si $x \ge 3$ : $2x - 3 \le 5 \iff x \le 4$. Solutions : $[3, 4]$.
En réunissant, l'ensemble des solutions est $[-1, 4]$.
- $[-\frac{5}{3}, 1]$ ; 2. $]-\infty,-1[\cup]5,+\infty[$ ; 3. $\{\frac{2}{3}, 4\}$ ; 4. $[-1, 4]$