Caractérisation des intervalles : énoncé (MPSI)
Caractérisation des intervalles
Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si $$\forall (a, b) \in I^2,\quad a \le b \implies [a, b] \subset I.$$ Autrement dit, un intervalle est une partie « sans trou » : dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels situés entre eux. On dit que $I$ est convexe.
Démonstration : Caractérisation des intervalles
Preuve de la caractérisation
Sens direct. On le vérifie sur chaque forme. Par exemple pour $I = [\alpha, \beta[$ : si $a, b \in I$ avec $a \le b$ et $x \in [a, b]$, alors $\alpha \le a \le x \le b < \beta$, donc $x \in I$. Les autres cas sont identiques.
Sens réciproque. Soit $I$ vérifiant la propriété. Si $I = \varnothing$, c'est un intervalle. Sinon, on pose $\alpha = \inf I$ et $\beta = \sup I$ dans $\overline{\mathbb{R}}$. Par définition, $I \subset [\alpha, \beta] \cap \mathbb{R}$.
Montrons $]\alpha, \beta[ \subset I$. Soit $x$ réel avec $\alpha < x < \beta$. Comme $x > \inf I$, $x$ ne minore pas $I$ : il existe $a \in I$ avec $a < x$. Comme $x < \sup I$, $x$ ne majore pas $I$ : il existe $b \in I$ avec $b > x$. Alors $x \in [a, b] \subset I$.
Ainsi $]\alpha, \beta[ \subset I \subset [\alpha, \beta] \cap \mathbb{R}$ : $I$ est égal à $]\alpha, \beta[$ auquel on ajoute éventuellement $\alpha$ et/ou $\beta$ s'ils sont réels et appartiennent à $I$. Dans tous les cas, $I$ est l'une des formes de la définition.
S’entraîner
- Bornes d'une partie définie par une suite
- Reconnaître des intervalles
- Bornes supérieure et inférieure avec epsilon
- Sous-groupes additifs de R (type Mines-Ponts)