Utiliser la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieureUtiliser la propriété d'Archimède
- Soit $A = \left\{ \dfrac1n + \dfrac1p \;\middle|\; (n, p) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\}$. Déterminer $\sup A$ et $\inf A$, et dire s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
- Soit $B = \left\{ \dfrac{x}{1 + x} \;\middle|\; x \in \mathbb{R}_+^* \right\}$. Déterminer $\sup B$ et $\inf B$, et dire s'ils sont atteints.
Indice 1
Pour $A$, calculer l'élément obtenu pour $n = p = 1$.
Indice 2
Pour l'inf de $A$, prendre $n = p$ assez grand grâce à la propriété d'Archimède.
Indice 3
Pour $B$, écrire $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ ; pour un $\varepsilon > 0$ donné, essayer $x = \frac{1}{\varepsilon}$ puis $x = \varepsilon$.
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