Utiliser la caractérisation des intervallesÉcrire un intervalle sous forme standard
Pour chacune des parties suivantes de $\mathbb{R}$, dire si c'est un intervalle ; si oui, l'écrire sous l'une des formes du cours.
- $I_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4\}$
- $I_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 > 1\}$
- $I_3 = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \le 2\} \cap \mathbb{R}_+$
- $\mathbb{Q}$
- $I_5 = \{x \in \mathbb{R} \mid \lfloor x \rfloor = 2\}$
- Soit $I$ un intervalle et $c \in \mathbb{R}$. Montrer à l'aide de la caractérisation des intervalles que $I + c = \{x + c \mid x \in I\}$ est un intervalle.
Indice 1
Utiliser $\sqrt{x^2} = |x|$ pour transformer une condition sur $x^2$ en condition sur $|x|$.
Indice 2
Pour montrer qu'une partie n'est pas un intervalle, exhiber deux éléments et un réel situé entre eux qui n'appartient pas à la partie.
Indice 3
Pour la question 6, partir de $a \le b$ dans $I + c$ et écrire $a = x + c$, $b = y + c$.
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