Déterminer une borne supérieure par la caractérisationUtiliser la propriété d'ArchimèdeDistinguer borne supérieure et maximum
On pose $A = \left\{ \dfrac{2n + 1}{n + 1} \;\middle|\; n \in \mathbb{N} \right\}$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{2n+1}{n+1} = 2 - \dfrac{1}{n+1}$.
- Montrer que $A$ admet un plus petit élément et le déterminer. En déduire $\inf A$.
- Montrer que $\sup A = 2$. La partie $A$ admet-elle un plus grand élément ?
Indice 1
Écrire $2n + 1 = 2(n + 1) - 1$.
Indice 2
Pour l'inf, minorer $2 - \frac{1}{n+1}$ en majorant $\frac{1}{n+1}$, puis chercher pour quel $n$ le minorant est atteint.
Indice 3
Pour le sup, fixer $\varepsilon > 0$ et choisir $n$ par la propriété d'Archimède pour que $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$.
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