OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Nombres réels › Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle

Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle : méthode (MPSI)

Méthode

Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle

  1. Pour montrer que $I$ est un intervalle : on prend $a, b \in I$ avec $a \le b$ et $x \in [a, b]$, puis on montre $x \in I$.
  2. Pour montrer que $I$ n'est pas un intervalle : on exhibe $a, b \in I$ et $x \in ]a, b[$ avec $x \notin I$.
Exemple

Intersection et réunion

  • L'intersection de deux intervalles $I$ et $J$ est un intervalle : si $a, b \in I \cap J$ avec $a \le b$, alors $[a, b] \subset I$ et $[a, b] \subset J$, donc $[a, b] \subset I \cap J$.
  • La réunion de deux intervalles n'en est pas toujours un : $[0, 1] \cup [2, 3]$ contient $1$ et $2$ mais pas $\dfrac{3}{2}$.
  • $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle : il contient $-1$ et $1$ mais pas $0$.

S’entraîner

Dans le cours

Nombres réels : Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle