On appelle sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ une partie $G$ de $\mathbb{R}$ telle que $0 \in G$ et, pour tous $x, y \in G$, $x + y \in G$ et $-x \in G$. Soit $G$ un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ tel que $G \neq \{0\}$. On note $G_+ = G \cap \mathbb{R}_+^*$.
- a) Montrer que pour tout $x \in G$ et tout $k \in \mathbb{Z}$, $kx \in G$. b) Montrer que $G_+$ est non vide et minorée. On pose $\alpha = \inf G_+$ ; justifier que $\alpha \ge 0$.
- On suppose dans cette question $\alpha > 0$. a) Montrer par l'absurde que $\alpha \in G$. On pourra construire deux éléments $g_1, g_2$ de $G_+$ tels que $\alpha < g_2 < g_1 < 2\alpha$. b) Montrer que $G = \alpha\mathbb{Z} = \{k\alpha \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
- On suppose dans cette question $\alpha = 0$. Montrer que $G$ est dense dans $\mathbb{R}$.
- On pose $H = \{p + q\sqrt2 \mid (p, q) \in \mathbb{Z}^2\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$, différent de $\{0\}$, et qu'il est dense dans $\mathbb{R}$.
- En déduire que pour tout $\varepsilon \in\, ]0, 1[$, il existe $(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*$ tel que $|q\sqrt2 - p| < \varepsilon$.
Pour 1 a), procéder par récurrence pour $k \in \mathbb{N}$, puis utiliser la stabilité par opposé.
Pour 2 a), appliquer la caractérisation de la borne inférieure avec $\varepsilon = \alpha$, puis avec $\varepsilon = g_1 - \alpha$, et considérer $g_1 - g_2$.
Pour 2 b), pour $g \in G$, poser $k = \lfloor g / \alpha \rfloor$ et étudier $g - k\alpha$.
Pour 3, prendre $g \in G_+$ avec $g < b - a$, puis le plus petit multiple entier de $g$ strictement supérieur à $a$.
Pour 4, si $H = \alpha\mathbb{Z}$, écrire $1$ et $\sqrt2$ comme multiples entiers de $\alpha$.
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