Prépa, 1re année › Nombres réels › Propriété d'Archimède
Propriété d'Archimède : énoncé (MPSI)
Théorème
Propriété d'Archimède
Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel $n$ tel que $n > x$.
Conséquence : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ (appliquer la propriété à $x = \dfrac{1}{\varepsilon}$).
Démonstration : Propriété d'Archimède
Démonstration
Preuve de la propriété d'Archimède
Par l'absurde, supposons qu'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N},\ n \le x$. Alors $\mathbb{N}$ est une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ : elle admet une borne supérieure $s$.
Le réel $s - 1$ est strictement inférieur à $s$, donc ce n'est pas un majorant de $\mathbb{N}$ : il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > s - 1$. Alors $n + 1 > s$, avec $n + 1 \in \mathbb{N}$, ce qui contredit le fait que $s$ majore $\mathbb{N}$.