Prépa, 1re année › Nombres réels › Propriété de la borne supérieure (admise)

Propriété de la borne supérieure (admise) : énoncé (MPSI)

Théorème

Propriété de la borne supérieure (admise)

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet une borne inférieure.

La première assertion est admise : elle fait partie des propriétés fondamentales de $\mathbb{R}$. La seconde s'en déduit.

Démonstration : Propriété de la borne supérieure (admise)

Démonstration

Déduction de l'existence de la borne inférieure

Soit $A$ non vide et minorée par $m$. On pose $-A = \{-a \mid a \in A\}$. Cette partie est non vide, et majorée par $-m$ car $a \ge m$ entraîne $-a \le -m$. Elle admet donc une borne supérieure $s$.

$-s$ minore $A$ : pour $a \in A$, $-a \le s$, donc $a \ge -s$.
C'est le plus grand minorant : si $m'$ minore $A$, alors $-m'$ majore $-A$, donc $s \le -m'$, c'est-à-dire $m' \le -s$.

Ainsi $\inf A$ existe et $\inf A = -\sup(-A)$.

Remarque

Ce qui manque à Q

Dans $\mathbb{Q}$, la propriété est fausse. La partie $\{x \in \mathbb{Q}_+ \mid x^2 < 2\}$ est non vide et majorée (par $2$), mais n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ : sa borne supérieure dans $\mathbb{R}$ est $\sqrt{2}$, qui est irrationnel. C'est cette propriété qui fait de $\mathbb{R}$ un ensemble « sans trous ».

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Dans le cours

Nombres réels : Propriété de la borne supérieure (admise)