Caractérisation de la borne supérieure : énoncé (MPSI)
Caractérisation de la borne supérieure
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ et $M \in \mathbb{R}$. On a $M = \sup A$ si et seulement si :
- $M$ est un majorant de $A$ : $\forall a \in A,\ a \le M$ ;
- $\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ M - \varepsilon < a$.
De même, $m = \inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et $\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a < m + \varepsilon$.
Démonstration : Caractérisation de la borne supérieure
Preuve de la caractérisation
Sens direct. Si $M = \sup A$, alors $M$ majore $A$. Soit $\varepsilon > 0$. Le réel $M - \varepsilon$ est strictement inférieur à $M$, qui est le plus petit majorant : $M - \varepsilon$ n'est donc pas un majorant de $A$. Il existe donc $a \in A$ tel que $a > M - \varepsilon$.
Sens réciproque. Supposons 1 et 2. Soit $M'$ un majorant de $A$ ; montrons $M' \ge M$. Par l'absurde, si $M' < M$, on pose $\varepsilon = M - M' > 0$. Par 2, il existe $a \in A$ avec $a > M - \varepsilon = M'$, ce qui contredit le fait que $M'$ majore $A$. Donc $M$ est un majorant inférieur ou égal à tous les majorants : c'est le plus petit, $M = \sup A$.
S’entraîner
- Bornes d'une partie définie par une suite
- Reconnaître des intervalles
- Bornes supérieure et inférieure avec epsilon
- Borne supérieure d'un produit de parties positives
- Étude d'une partie de Q (type CCINP)