Prépa, 1re année › Polynômes › Intégrité, inversibles
Intégrité, inversibles : énoncé (MPSI)
Propriété
Intégrité, inversibles
- Si $PQ=0$, alors $P=0$ ou $Q=0$ : l'anneau $\mathbb{K}[X]$ est intègre. En conséquence, si $P\neq 0$ et $PQ=PR$, alors $Q=R$.
- Les éléments inversibles de $\mathbb{K}[X]$ sont les polynômes constants non nuls.
Démonstration : Intégrité, inversibles
Démonstration
Intégrité et inversibles
Si $PQ=0$, alors $\deg P+\deg Q=-\infty$, donc l'un des deux degrés vaut $-\infty$ : $P=0$ ou $Q=0$. Si $PQ=PR$ avec $P\neq 0$, alors $P(Q-R)=0$ donc $Q=R$.
Si $PQ=1$, alors $\deg P+\deg Q=0$ avec deux degrés positifs (aucun n'est nul car $PQ\neq 0$), donc $\deg P=0$ : $P$ est une constante non nulle. Réciproquement, une constante $\lambda\neq 0$ a pour inverse $\lambda^{-1}$.